对于一个平行四边形，我们知道它的两组对角线相互平分。现在，我们要证明对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
首先，我们可以画出一个由对角线平分一组对角的平行四边形，如下图所示：
我们要证明的是，AC = BD，也就是证明这个平行四边形是菱形。
接下来，我们可以通过一系列的推导来证明这个结论。
首先，我们可以看到，由于ABCD是平行四边形，所以AD || BC。根据平行线的性质，我们可以得到∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，如下图所示：
接着，我们可以看到，由于对角线AC平分∠1和∠3，所以∠1 = ∠3。同样地，由于对角线BD平分∠2和∠4，所以∠2 = ∠4。这样，我们就有了以下图形：
现在，我们可以看到，由于∠1 = ∠3，所以三角形ABC和三角形ADC是相似的。同理，由于∠2 = ∠4，所以三角形ABD和三角形CBD是相似的。这样，我们就有了以下图形：
接下来，我们可以利用相似三角形的性质来得到结论。由于三角形ABC和三角形ADC是相似的，我们可以得到：
AC/AB = AD/AC
这可以进一步化简为AC² = AB × AD。
同样地，由于三角形ABD和三角形CBD是相似的，我们可以得到：
BD/BC = BC/BD
这可以进一步化简为BD² = BC × CD。
现在，我们将这两个式子相加：
AC² + BD² = AB × AD + BC × CD
由于ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AD = BC。这样，我们就可以将上式化简为：
AC² + BD² = AB² + AD²
这就是勾股定理的形式，也就是说，AC和BD两条对角线的长度相等，这个平行四边形是菱形。
综上所述，我们已经证明了对角线平分一组对角的平行四边形是菱形的结论。
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2023-08-09
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